Причесанный тор

Представьте себе, что в каждой точке тора отложили касательный вектор, векторы поместим так, чтобы они касались мередианов, и так, чтобы в близких точках векторы тоже мало отличались. На торе есть две группы взаимно перпендикулярных мередианов, поэтому есть два способа поместить на торе векторное поле с этими свойствами.
Причем, любые две точки тора "равноправны" относительно этого векторного поля: сужествует непрерывное отображение, пространство на себя, при котором одна из этих точек переходит в другую, и вектороно поле также отображается на себя.

Заметим, что какое бы семейство меридианов на торе не брать - на торе нет особых точек, "непричесанных" точек, в которых векторы векторного поля ненулевые, и векторное поле непрерывно, то есть при малом изменении точки на торе, касаельный вектор из векторного поля также мало меняется.

Заметим также, что Характеристика Эйлера у тора равна нулю.

Попробуем теперь построить аналогичную конструкцию на сфере: в каждой точке сферы построим вектор, касающийся сферы, и попытаемся сделать это векторное поле на сфере непрерывным. Тогда на сфере существует по меньшей мере две точки, в которых векторное поле непричесано: либо в окрестности этих точек векторное поле бесконечно мало, либо из этих точек касательные векторы торчат в разные стороны. Это подсказывает, что на поверхности сферы (на поверхности Земли в любой момент времени) обязательно есть по меньшей мере две точки, в окрестности которых атмосфера абсолютно неподвижна (векторное поле бесконечно мало) или вокруг которых вихри. Учитывая, что абсолютно неподвижная атмосфера означает абсолютно нулевую температуру (-273 градуса по шкале Цельция), что едвали возможно, получаем математическое доказательство того, что в любой момент времени на поверхности Земли есть по меньшей мере два вихря, не обязательно в противоположных точках планеты, может быть даже сравнительно недалеко друг от друга.

Загадочный многоугольник

Построить на плоскости многоугольник, на границе которого есть такая точка, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит этот многоугольник на две части с равными площадями.

Парабола и окружность

Пусть любая парабола, заданная уравнением y=x^2+bx+c пересекает ось OX в двух точках. Пусть эта парабола пересекает ось OY не в начале координат. Известно, что через любы три точки плоскости, не лежащих на одной прямой, можно провести окружность и только одну.



Доказать, что все эти окружности имеют общую точку. Какова ее координата?

Треугольник и медиана

В произвольном треугольнике ABC отрезок BD - медиана, а точка Е делит сторону BC как 1:2.

Обозначим точку пересечения медианы BD и отрезка AE.



Надите отношение площади треугольника AOD к площади треугольника ABC.

Решите ту же задачу, если в треугольнике ABC отрезок BD - медиана, а точка Е делит сторону BC как n:m.

Подсказка: решение помещается на кусочке бумаги с той же площадью, что этикетка спичечного коробка.

Чудак на железной дороге

Один чудак любил сидеть у железной дороги и смотреть на поезда. Он замечал восьмизначные номера на стремительно пролетающих мимо товарных вагонах, быстро возводил их в квадрат, у полученного числа считал сумму цифр, затем у полученного числа снова считал сумму цифр и так далее, пока не получится однозначное число.

Он обратил внимание, что числа 2 и 8 после таких операций получались значительно реже, чем число 7.

Как объяснить такое странное явление?

Велосипедисты с фляжкой

По окружности велотрека в одну сторону едут велосипедисты. Скорости их попарно различны. Судья соревнований заметил, что никогда не было таких моментов, что трое велосипедистов встретились одновременно, хотя попарно они конечно встречались, ведь их скорости различны.

На всех велосипедистов была одна фляжка. По правилам соревнований, если велосипедист с фляжкой обгоняет другого, или если его обгоняет другой, то он обязан передать при встрече фляжку обогнавшему или отставшему велосипедисту.

Доказать, что каждый велосипедист обязательно подержит фляжку.

Четное совещание

2n человек сидят за круглым столом на совещании, расстояние между соседями одинаковое. После перерыва на обед совещание возобновилось, и участники совещания сели за стол в произвольном порядке.

Доказать, что обязательно найдется пара совещавшихся, расстояние между которыми не изменится.



Сколько таких пар с неизменившимся расстоянием?

Удвоение сфер

Парадокс Банаха—Тарского

Парадокс был придуман в 1920-х годах двумя замечательными математиками Банахом и Тарским, которые для этого даже не встречались. Они обнаружили, что обычную сферу можно «разрезать» на несколько частей, из которых потом можно сложить две точно такие же сферы.

Читать об этом в Википедии...
Некоторое время этот парадокс считали опровержением аксиомы выбора, используемой при его доказательстве, поскольку в него никто не верил. Потом осознали, что ничего страшного здесь нет. Кроме аксиомы выбора в доказательстве используются построение множества Витали, неизмеримого относительно произвольной «хорошей» меры, сдвиг натурального ряда (если к каждому натуральному числу прибавить 1, то получится тот же самый натуральный ряд и ещё одна точка) и ещё некоторые ниже сформулированные утверждения.

Изящное квадратное уравнение

Задача национальной канадской олимпиады по математике.

Ренди: Привет, Рейчел, ты написала интересное квадратное уравнение. Каковы его корни?

Рейчел: Его корнями являются два натуральных числа. Один из корней – мой возраст, другой – возраст моего младшего брата Джимми.

Ренди: Это очень изящно! Посмотрим, смогу ли я вычислить, сколько лет тебе и сколько Джимми. Это не должно быть сложным, ведь коэффициенты твоего уравнения – целые числа. Кстати, я заметил, что сумма всех трёх коэффициентов – простое число.

Рейчел: Интересно. Так посчитай, сколько мне лет.

Ренди: Вместо этого я попытаюсь угадать твой возраст и подставить его вместо x… Хм, получилось – 55, а не 0. (минус 55)

Рейчел: Уйди, противный!

Докажите, что Джимми два года.
Определите возраст Рейчел.

Странные четырехугольники

Можно ли на плоскости начертить два четырехугольника так, чтобы периметр внутреннего четырехугольника был больше периметра внешнего?

Обгоревшая параболическая антенна

В НИИ прикладной математики и механики (Томск) примерно в 1988 году перед сотрудниками поставили следующую секретную задачу.

В некотором космическом корабле есть деталь в форме эллиптического параболоида. Это может быть папаболическая антенна или элемент топливного бака. Что именно - секрет.

Известно, что параболическая поверхность собирает все отраженные лучи в одной точке, которую называют фокусом).

Во время полета в плотных слоях атмосферы параболическая поверхность равномерно обгорает (или покрывается равномерно слоем льда).

Останется ли у обгоревшей или покрытой льдом поверхности свойство фокусировать лучи в одной точке?

Задача весьма актуальна: испортится ли антенна, если ее покрасить краской?

Три мудреца

Три мудреца поспорили, кто из них самый умный и самый мудрый. Они пришли к царю и попросили его рассудить их.

Царь показал им две черные шляпы и три белые шляпы, и сказал:
- Сейчас вы закроете глаза, и я надену каждому из вас какую-то шляпу из этих пяти, оставшиеся две шляпы я спрячу. Потом вы откроете глаза, но свою шляпу вы не увидите, увидите только шляпы других мудрецов. Кто первый догадается, какая на нем шляпа, тот и есть самый мудрый из вас.

Так и сделали. Царь надел на мудрецов три белые шляпы, а две черные шляпы спрятал и разрешил мудрецам открыть глаза.

Долго смотрели мудрецы друг на друга...



Наконец, один из них воскликнул:
- На мне белая шляпа!

Как он догадался?

Математик на свидании

1. Однажды математик назначил свидание своей девушке.

- Но знаешь, дорогая, - сказал ласково влюбленный математик, - я буду ждать тебя на нашем месте с 5 до 6 часов дня, и смогу ждать тебя не больше 10 минут.

- Знаешь, любимый, я приду, но тоже не знаю, когда точно. Тоже приду между 5 и 6 часами дня и буду ждать тебя не больше 10 минут.

- Дай-ка я посчитаю вероятность нашей встречи, - загорелся математик.

- Да не хватайся ты за карандаш, горе ты мое!

Найдите вероятность встречи двух влюбленных.



2. Однажды n человек договорились прийти на одно и то же место между 5 и 6 часами и договорились ждать друг друга не более 10 минут. Найдите вероятность того, что все n человек встретятся вместе.

Сопротивляющийся куб

1. Из одинаковых кусков проволоки спаяли каркас куба. Сопротивление каждого ребра куба R Ом.



Найдите сопротивление между точками А и В.

2. Решите ту же задачу для куба в четырехмерном пространстве, ..., для куба в пространстве размерности n.

3. Пусть на каждом ребре куба конденсаторы емкостью С Мкф. Найдите емкость между точками А и В.

4. Пусть на каждом ребре куба катушки с индуктивностью L микроГенри. Найдите индуктивность между точками А и В.

Для решения узнайте о законах Кирхгофа в Википедии.

17 обезумевших мух.

17 обезумевших мух носятся как угорелые в закрытой стеклянной сфере радиусом R=1 м. Некоторые особо зарвавшиеся мухи достигают скорости звука. Особо наглые мухи иногда позволяют себе поползать по стеклянной поверхности сферы или просто сидеть на стекле чтобы снова броситься в безумный полет.



Доказать, что в любой момент времени найдутся три мухи, между каждыми из которых расстояние не больше квадратного корня из 3 метров.

Теорема Ферма

Докажем знаменитую теорему Ферма.



Теорема. Для любого натурального n > 2 уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ не имеет натуральных решений x, y и z.

Доказательство.

Рассмотрим два утверждения.

1. "Существует натуральное n>2, для которого уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ имеет хотя бы одно натуральное решение x, y и y."

2. "Одно из утверждений 1 или 2 - ложно".

Это просто утверждения, они ничего не доказывают, они могут быть истинными или ложными, рассмотрим их.

О первом утверждении пока ничего не можем сказать, рассмотрим второе утверждение.
Оно может быть истинным или ложным.

Если предположить, что второе утверждение ложно, то неверно высказывание "Одно из утверждений 1 или 2 - ложно". Значит и первое, и второе высказывания истинны. Но по нашему предположению второе высказывание ложно. Полученное противоречие (второе утверждение одновременно истинно и ложно) доказывает, что предположение неверно, поэтому второе утверждение может быть только истинным.

Итак, мы убедились, что "Одно из утверждений 1 или 2 - ложно" - истинное высказывание. 2-е высказывание - истинно, значит первое высказывание может быть только ложным.

Значит, не существует натурального n>2, для которого уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ имеет хотя бы одно натуральное решение x, y и z.

Значит, для любого натурального n > 2 уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ не имеет натуральных решений x, y и z.

Теорема Ферма доказана.

А если серьезно, вы конечно, заметили, что таким же образом можно "доказать" все что угодно.

Найдите ошибку в доказательстве.

Познакомьтесь другое доказательство теоремы Ферма, проверьте его, все ли там чисто.

Задача профессора Пестова о внимательном геодезисте

Однажды группа туристов шла от подножия горы к вершине. Гора имела форму конуса, расстояние от подножия горы до вершины 800 м. (Образующая конуса - 800 м).

В группе туристов затесался один геодезист, который заметил, что они шли по тропе, вьющейся вокруг горы по спирали к вершине, и постоянно выдерживали угол 30 градусов к горизонту.



Какой путь проделали туристы, когда дошли до вершины?

Задача об очень отважном африканском летчике.

Отважный африканский пилот вылетел с аэродрома, который находился точно на экваторе, и во время полета строго придерживался курса Северо-Восток. И летел так до тех пор, пока либо не пересекёт свою же траекторию, либо уже будет не в состоянии лететь.



Горючего у пилота было достаточно, его самолет в нужный момент заправляли заправщики.

Куда прилетит самолет, и какой путь при этом проделает? Недостающие данные найдите самостоятельно в Википедии.

Задача профессора Пестова

В ведро собирают смородину. Если собирать мелкую ягоду, то промежутки между ягодами будут меньше. Если собирать крупную ягоду, то промежутки между ягодами также крупнее.

Когда ведро с ягодой окажется тяжелее - с крупной ягодой или с мелкой?

Задача королевского портного

Король приказал портному Персерену сшить новое платье к празднеству в Фонтенбло. Платье сошьется успешно, если разрезать без отходов прямоугольное полотно на 5 различных равнобедренных треугольников. В противном случае портному Персерену не миновать Бастилии.



Есть ли у портного шанс не угодить в Бастилию?

Учтите, что квадрат является частным случаем прямоугольника, и вам надо разобрать случай для квадратного полотна.