Велосипедисты с фляжкой

По окружности велотрека в одну сторону едут велосипедисты. Скорости их попарно различны. Судья соревнований заметил, что никогда не было таких моментов, что трое велосипедистов встретились одновременно, хотя попарно они конечно встречались, ведь их скорости различны.

На всех велосипедистов была одна фляжка. По правилам соревнований, если велосипедист с фляжкой обгоняет другого, или если его обгоняет другой, то он обязан передать при встрече фляжку обогнавшему или отставшему велосипедисту.

Доказать, что каждый велосипедист обязательно подержит фляжку.