понедельник, 31 августа 2009 г.

Три мудреца

Три мудреца поспорили, кто из них самый умный и самый мудрый. Они пришли к царю и попросили его рассудить их.

Царь показал им две черные шляпы и три белые шляпы, и сказал:
- Сейчас вы закроете глаза, и я надену каждому из вас какую-то шляпу из этих пяти, оставшиеся две шляпы я спрячу. Потом вы откроете глаза, но свою шляпу вы не увидите, увидите только шляпы других мудрецов. Кто первый догадается, какая на нем шляпа, тот и есть самый мудрый из вас.

Так и сделали. Царь надел на мудрецов три белые шляпы, а две черные шляпы спрятал и разрешил мудрецам открыть глаза.

Долго смотрели мудрецы друг на друга...



Наконец, один из них воскликнул:
- На мне белая шляпа!

Как он догадался?

суббота, 29 августа 2009 г.

Математик на свидании

1. Однажды математик назначил свидание своей девушке.

- Но знаешь, дорогая, - сказал ласково влюбленный математик, - я буду ждать тебя на нашем месте с 5 до 6 часов дня, и смогу ждать тебя не больше 10 минут.

- Знаешь, любимый, я приду, но тоже не знаю, когда точно. Тоже приду между 5 и 6 часами дня и буду ждать тебя не больше 10 минут.

- Дай-ка я посчитаю вероятность нашей встречи, - загорелся математик.

- Да не хватайся ты за карандаш, горе ты мое!

Найдите вероятность встречи двух влюбленных.



2. Однажды n человек договорились прийти на одно и то же место между 5 и 6 часами и договорились ждать друг друга не более 10 минут. Найдите вероятность того, что все n человек встретятся вместе.

Сопротивляющийся куб

1. Из одинаковых кусков проволоки спаяли каркас куба. Сопротивление каждого ребра куба R Ом.



Найдите сопротивление между точками А и В.

2. Решите ту же задачу для куба в четырехмерном пространстве, ..., для куба в пространстве размерности n.

3. Пусть на каждом ребре куба конденсаторы емкостью С Мкф. Найдите емкость между точками А и В.

4. Пусть на каждом ребре куба катушки с индуктивностью L микроГенри. Найдите индуктивность между точками А и В.

Для решения узнайте о законах Кирхгофа в Википедии.

17 обезумевших мух.

17 обезумевших мух носятся как угорелые в закрытой стеклянной сфере радиусом R=1 м. Некоторые особо зарвавшиеся мухи достигают скорости звука. Особо наглые мухи иногда позволяют себе поползать по стеклянной поверхности сферы или просто сидеть на стекле чтобы снова броситься в безумный полет.



Доказать, что в любой момент времени найдутся три мухи, между каждыми из которых расстояние не больше квадратного корня из 3 метров.

пятница, 28 августа 2009 г.

Теорема Ферма

Докажем знаменитую теорему Ферма.



Теорема.
Для любого натурального n > 2 уравнение xn+yn=zn не имеет натуральных решений x, y и z.

Доказательство.

Рассмотрим два утверждения.

1. "Существует натуральное n>2, для которого уравнение xn+yn=zn имеет хотя бы одно натуральное решение x, y и y."

2. "Одно из утверждений 1 или 2 - ложно".

Это просто утверждения, они ничего не доказывают, они могут быть истинными или ложными, рассмотрим их.

О первом утверждении пока ничего не можем сказать, рассмотрим второе утверждение.
Оно может быть истинным или ложным.

Если предположить, что второе утверждение ложно, то неверно высказывание "Одно из утверждений 1 или 2 - ложно". Значит и первое, и второе высказывания истинны. Но по нашему предположению второе высказывание ложно. Полученное противоречие (второе утверждение одновременно истинно и ложно) доказывает, что предположение неверно, поэтому второе утверждение может быть только истинным.

Итак, мы убедились, что "Одно из утверждений 1 или 2 - ложно" - истинное высказывание. 2-е высказывание - истинно, значит первое высказывание может быть только ложным.

Значит, не существует натурального n>2, для которого уравнение xn+yn=zn имеет хотя бы одно натуральное решение x, y и z.

Значит, для любого натурального n > 2 уравнение xn+yn=zn не имеет натуральных решений x, y и z.

Теорема Ферма доказана.

А если серьезно, вы конечно, заметили, что таким же образом можно "доказать" все что угодно.

Найдите ошибку в доказательстве.

Познакомьтесь другое доказательство теоремы Ферма, проверьте его, все ли там чисто.

четверг, 27 августа 2009 г.

Задача профессора Пестова о внимательном геодезисте

Однажды группа туристов шла от подножия горы к вершине. Гора имела форму конуса, расстояние от подножия горы до вершины 800 м. (Образующая конуса - 800 м).

В группе туристов затесался один геодезист, который заметил, что они шли по тропе, вьющейся вокруг горы по спирали к вершине, и постоянно выдерживали угол 30 градусов к горизонту.



Какой путь проделали туристы, когда дошли до вершины?

вторник, 25 августа 2009 г.

Задача об очень отважном африканском летчике.

Отважный африканский пилот вылетел с аэродрома, который находился точно на экваторе, и во время полета строго придерживался курса Северо-Восток. И летел так до тех пор, пока либо не пересекёт свою же траекторию, либо уже будет не в состоянии лететь.



Горючего у пилота было достаточно, его самолет в нужный момент заправляли заправщики.

Куда прилетит самолет, и какой путь при этом проделает? Недостающие данные найдите самостоятельно в Википедии.

понедельник, 24 августа 2009 г.

Задача профессора Пестова

В ведро собирают смородину. Если собирать мелкую ягоду, то промежутки между ягодами будут меньше. Если собирать крупную ягоду, то промежутки между ягодами также крупнее.

Когда ведро с ягодой окажется тяжелее - с крупной ягодой или с мелкой?

Задача королевского портного

Король приказал портному Персерену сшить новое платье к празднеству в Фонтенбло. Платье сошьется успешно, если разрезать без отходов прямоугольное полотно на 5 различных равнобедренных треугольников. В противном случае портному Персерену не миновать Бастилии.



Есть ли у портного шанс не угодить в Бастилию?

Учтите, что квадрат является частным случаем прямоугольника, и вам надо разобрать случай для квадратного полотна.

воскресенье, 23 августа 2009 г.

Как стать отличником

Хотите стать успешными в учёбе? Легко!

Для этого есть несколько секретов. Выполнение даже одного любого из этих правил принесёт успех в учёбе. Я сам был троечником, и выбрался в отличники, поэтому эти секреты выстраданы и проверены.

Секрет 1. Как избавиться от троек? Чтобы избавиться от троек, надо составить распорядок дня от подъёма до сна, и неукоснительно следовать этому распорядку. Должно быть обязательное правило: не гулять до тех пор, пока не сделаешь домашнее задание и не выучишь уроки.

Конечно, когда тройки исчезнут, строго следовать распорядку дня не обязательно, даже, на мой взгляд, вредно. Но пока не исчезнут тройки – надо следовать этому правилу.

Секрет 2. Как усыпать свой дневник пятёрками? Наверняка у вас есть любимая игрушка (компьютер, велосипед, мотоцикл, кукла и проч.). Заведите себе правило: играть в эту игрушку только в тот день, в который вы получили хотя бы одну пятёрку, и вместе с тем ни одной тройки, и тем более, двойки; если не получили пять в субботу, то не имеете права играть в эту игрушку и в воскресенье. Жёстко следуйте этому правилу. Хотите играть в любимую игрушку – получайте пять ежедневно!

Секрет 3. Как стать отличником по конкретному предмету? Правило очень простое и легко выполнимое – делать домашнее задание по этому предмету в тот же день, когда его задали, не откладывать на потом. Делать домашнее задание не перед уроком, когда тебя спросят, а сразу после того, как его задали. У этого метода масса преимуществ: затрат времени не больше, а скорее меньше, ведь сразу после урока меньше вспоминать; психологически комфортно – сделал, и свободен; и, наконец, если задание очень сложное и сразу не решается – есть время подумать над ним на следующий день.

Хотите стать отличником по всем предметам? Делайте домашнее задание в тот же день, как его задали по всем предметам.

Секрет 4. Как усвоить материал? Сколько времени занимает дорога от школы домой, от института до общежития? Пока идёте домой, постарайтесь вспомнить, что сегодня было на каждом занятии, на каждой лекции, как можно подробнее. Конечно, вспомниться не всё. Тогда, придя домой, откройте свои записи и повторите то, что не смогли вспомнить. Преимущества этого метода – нужно очень мало времени, личное время и учебное время не тратится, материал запоминается лучше всего.

Секрет 5. Как сдать экзамен или зачёт на пять? При подготовке к экзамену сделать обзор всего материала. Что такое обзор? На большом листе вычерчивается блок-схема, в которой отражены основные определения, понятия, теоремы, леммы, формулы, соотношения, факты, события и т. п., а также вычерчиваются все логические связи между этими элементами. Тогда очень чётко видны все связи и следствия курса, суть курса. Перед экзаменом в качестве повторения следует составить такой обзор по памяти, не пользуясь конспектами, а также сделать такой обзор в уме. Этот секрет открыл нам, своим студентам наш университетский преподаватель Пестов Герман Гаврилович.

Секрет 6. Экзамен начинается на консультации. Чтобы успешно сдать экзамен, надо произвести впечатление на преподавателя на консультации: задать по меньшей мере три УМНЫХ вопроса. Причём задавать их надо примерно в таком порядке: сначала вопрос из конца курса, потом из начала курса, потом из середины курса. Тогда у преподавателя сложится впечатление, что вы хорошо ориентируетесь в курсе, – и половина экзамена сдана.

Секрет 7. Добейтесь, чтобы у вас списывали. Тогда придётся списывающим объяснять, как что получилось. Когда объясняешь, а тебя не понимают сразу – это очень хорошо, потому что тогда ищешь другой способ объяснить, и тогда происходит чудо: сам для себя открываешь обсуждаемый вопрос с неожиданной стороны.

суббота, 22 августа 2009 г.

Задача про муху

Угадайте загадку.

Между селами А и В 50 км. Из А в В выехал велосипедист со скоростью 25 км/ч. Навстречу ему из В вылетела муха со скоростью 50 км/ч. В момент их встречи муха врезалась в лоб велосипедисту и от страха полетела назад в В. Долетев до В, муха полетела обратно. Снова врезалась об лоб велосипедиста и опять полетела в В. Так муха летала от села B до велосипедиста и обратно, пока велосипедист не доехал до В. Тогда муха устала и успокоилась.



Сколько км пролетела муха?

Сопротивлением воздуха, массами велосипедиста и мухи, импульсом при соударении мухи о лоб велосипедиста - пренебречь.

пятница, 21 августа 2009 г.

Объём тора

Тор - это геометрическая фигура, моделями которой являются бублик или автомобильная камера.



Предлагаю вам найти объем тора. Пусть известны R - расстояние от центра тора до центра его сечения, r - радиус этого сечения. Найдите формулу для нахождения объма тора.

Задача по силам любому студенту математических вузов, если он применит такой мощный инструмент как интегральное исчисление.


Но эту задачу можно решить и школьнику, и не обязательно применять интеграл для вычисления объема фигуры вращения. Найдите этот красивый способ нахождения объема тора. Если вы найдете объем тора, то будете приятно удивлены.

Задачу можно усложнить, если рассмотреть случай R.

Интересное свойство эллипса

Выберем внутри окружности произвольную точку. Самые смелые могут взять в качестве этой точки даже центр. Назовем эту точку М. В эту окружность впишем всевозможные треугольники, у которых точка пересечения высот - та самая выбранная нами точка М.

Постройте таких треугольников хотя бы десяток. Ничего не замечаете? Тогда постройте 100 таких треугольников! Теперь то вы заметили, что все эти треугольники касаются своими сторонами одного и того же эллипса! Причем одним фокусом этого эллипса является та самая наша точка М, а другим фокусом - центр окружности.

Сможете это доказать?




Заодно попробуйте доказать, что главная ось этого эллипса - прямая Эйлера для любого из построенных нами треугольников.

среда, 19 августа 2009 г.

Метод Гаусса

Задача решения систем линейных уравнений как правило имеет много способов решения. Это и метод Гаусса, или как его еще называют, метод сложения. (Хотя название "Метод Гаусса" мне больше нравится - хочется проявить уважение великому математику), и метод Крамера, и метод обратных матриц,... список можно обогатить длинным перечнем всевозможных модификаций этого метода. Методы известны, и легко алгоритмизуются. Поэтому в сети там много программ, которые решают эту задачу.

Програмы эти довольно популярные, поскольку всем студентам, изучающим высшую математику (как правило, нематематики) или линейную алгебру приходится проводить огромную вычислительную работу, решая системы линейных уравнений с 4, а то и с 6 неизвестными. А перспектива вручную найти обратную матрицу размером 5х5 вызовет у рядового студента панический ужас.

Но как правило эти программы дают ответ в поставленной задаче - решают систему, находят определитель, находят обратную матрицу. И зачастую ответ в компьютере получается, к примеру, такой: "x=1.252525252526". И бедному студенту, которому хочется бежать на свидание, а не матрицы считать, приходится самому преобразовывать этот жуткий ответ тупой машины в приемлимый вид, который примет преподаватель. Да и этого мало студенту. Ему хочется, чтобы программа давала не только готовый ответ, который не интересен проверяющему преподавателю, но и подробное описание всего процесса решения. А если бы в программе была кнопка, на которую нажмешь, и компьютер решение в тетрадь сам пишет, было бы вообще здорово! Но увы, это только мечты... :(

Но мечты ли? Оказывается, есть такая программа! Нашел недавно в сети. Эта программа и системы решает методом Гаусса, и методом Крамера, и определители считает, и обратные матрицы находит, выписывает подробное решение каждого шага на русском и английском языках. Да еще и в обыкновенных дробях! Теперь cразу понятно, что x=124/99, а не 1,252525252526... Конечно, программа не выписывает решение в тетрадь сама, и зачет сдавать сама не ходит. Зато есть кнопочка, нажмешь на нее, и подробное решение печатается на принтере. Остается только самому переписать.

Эта программа мне столько времени и нервов сберегла! Главное, зачеты по линейной алгебре без проблем сдал, и главное безо всяких усилий. Да и сам научился решать системы и обратные матрицы благодаря этой программе.

Вот бы еще найти аналогичную программу для решения других задач по математике, чтобы программа давала не просто готовый ответ, а подробное решение, чтобы даже чайнику было понятно.

Народ, знаете такие программы? Если знаете, не сочтите за труд, бросьте сздесь ссылку. Мне очень интересно!

вторник, 18 августа 2009 г.

Работа

Интересно, можно на работе переделать всю работу, или сколько ее не делай, все равно количество несделанной работы значительно больше сделанной?

А если несделанной работы все равно больше, чего тогда рваться?

понедельник, 17 августа 2009 г.

Большому кораблю - большое плавание!