Ренди: Привет, Рейчел, ты написала интересное квадратное уравнение. Каковы его корни?
Рейчел: Его корнями являются два натуральных числа. Один из корней – мой возраст, другой – возраст моего младшего брата Джимми.
Ренди: Это очень изящно! Посмотрим, смогу ли я вычислить, сколько лет тебе и сколько Джимми. Это не должно быть сложным, ведь коэффициенты твоего уравнения – целые числа. Кстати, я заметил, что сумма всех трёх коэффициентов – простое число.
Рейчел: Интересно. Так посчитай, сколько мне лет.
Ренди: Вместо этого я попытаюсь угадать твой возраст и подставить его вместо x… Хм, получилось – 55, а не 0. (минус 55)
Рейчел: Уйди, противный!
Докажите, что Джимми два года.
Определите возраст Рейчел.
Сообщения
2 комментария:
1а)
Пусть a+b+c=p, где p - простое число
x1+x2=-b/a - натуральное число, следовательно b кратно a
x1*x2=c/a - натуральное число, следовательно с кратно a
Тогда сумма a+b+c может быть простым числом только при a=1
1б)
b=-(x1+x2)
c=x1*x2
1-x1-x2+x1*x2=p
x1=(p+x2-1)/(x2-1)=p/(x2-1) + 1
Так как p делится только на 1 и на себя:
x2=2, x1=p+1
x2=p+1, x1=2
Итак, если сумма коэффициентов есть простое число, то корнями уравнения является пара (2,p+1), где p - это сумма коэффициентов
2)
Возраст Рейчел равен p+1.
Разберем что получилось у Ренди.
ax^2+bx+c=-55
a=1
b=-(2+p+1)=-(p+3)
c=2(p+1)
x^2-(p+3)x+2p+2+55=0
D=p^2+6p+9-8p-228=p^2-2p-219
Подбором находим p=17 (Ренди оценил возраст Рейчел в 7 либо 13 лет :) ).
Следовательно Рейчел 18 лет
Блестящее решение!
Отправить комментарий