Парадокс был придуман в 1920-х годах двумя замечательными математиками Банахом и Тарским, которые для этого даже не встречались. Они обнаружили, что обычную сферу можно «разрезать» на несколько частей, из которых потом можно сложить две точно такие же сферы.
Читать об этом в Википедии...
Некоторое время этот парадокс считали опровержением аксиомы выбора, используемой при его доказательстве, поскольку в него никто не верил. Потом осознали, что ничего страшного здесь нет. Кроме аксиомы выбора в доказательстве используются построение множества Витали, неизмеримого относительно произвольной «хорошей» меры, сдвиг натурального ряда (если к каждому натуральному числу прибавить 1, то получится тот же самый натуральный ряд и ещё одна точка) и ещё некоторые ниже сформулированные утверждения.
Сообщения
3 комментария:
Красиво, но вот читая это, не могу избавиться от ощущения, что упускаю из виду главную фишку парадокса:
Не могу понять, чем этот парадокс принципиально отличается от того факта, что отрезок длины 1 равномощен отрезку длины 2, да и вообще, любому другому отрезку. Да и легко показать, что все сферы равномощны между собой: совместим их центры и множество прямых, проходящих через центр сфер, дадут нам взаимнооднозначное соответствие между их точками.
Добрый день, Слава!
Вы совершенно правы, легко доказать, что любая сфера равномощна любой другой сфере или даже просто отрезку.
Вся фишка этого красивого парадокса не в равномощности, а в том, что сфера разбивается на КОНЕЧНОЕ число кусков, эти куски переставляем местами, и складываем из них ДВЕ точно такие же сферы. Это вовсе не равномощность.
Более того, можно доказать, что сферу можно разбить на 4 части, три из которых конгруэнтны друг другу, то есть совершенно одинаковые, а четвертая часть - счетное множество (рамномощно натуральному ряду, состоит из изолированных точек), переставляем эти 4 части по-другому, и получаем 2 точно такие же сферы.
Но это не означает, что 1=1+1=2, потому что эти 4 куска, на которые разбиваем сферу - не измеримы, то есть невозможно определить меру Лебега (площадь поверхности).
Поэтому хотя это и красивый парадокс, но устоев математики он не разрушает и все хорошо :)
Определение меры Лебега можно найти в википедии. Для обычных "школьных" объектов мера Лебега - это обычные длина, площадь и объем.
Владимир, спасибо!
Отправить комментарий