Чудак на железной дороге

Один чудак любил сидеть у железной дороги и смотреть на поезда. Он замечал восьмизначные номера на стремительно пролетающих мимо товарных вагонах, быстро возводил их в квадрат, у полученного числа считал сумму цифр, затем у полученного числа снова считал сумму цифр и так далее, пока не получится однозначное число.

Он обратил внимание, что числа 2 и 8 после таких операций получались значительно реже, чем число 7.

Как объяснить такое странное явление?

Велосипедисты с фляжкой

По окружности велотрека в одну сторону едут велосипедисты. Скорости их попарно различны. Судья соревнований заметил, что никогда не было таких моментов, что трое велосипедистов встретились одновременно, хотя попарно они конечно встречались, ведь их скорости различны.

На всех велосипедистов была одна фляжка. По правилам соревнований, если велосипедист с фляжкой обгоняет другого, или если его обгоняет другой, то он обязан передать при встрече фляжку обогнавшему или отставшему велосипедисту.

Доказать, что каждый велосипедист обязательно подержит фляжку.

Четное совещание

2n человек сидят за круглым столом на совещании, расстояние между соседями одинаковое. После перерыва на обед совещание возобновилось, и участники совещания сели за стол в произвольном порядке.

Доказать, что обязательно найдется пара совещавшихся, расстояние между которыми не изменится.



Сколько таких пар с неизменившимся расстоянием?

Удвоение сфер

Парадокс Банаха—Тарского

Парадокс был придуман в 1920-х годах двумя замечательными математиками Банахом и Тарским, которые для этого даже не встречались. Они обнаружили, что обычную сферу можно «разрезать» на несколько частей, из которых потом можно сложить две точно такие же сферы.

Читать об этом в Википедии...
Некоторое время этот парадокс считали опровержением аксиомы выбора, используемой при его доказательстве, поскольку в него никто не верил. Потом осознали, что ничего страшного здесь нет. Кроме аксиомы выбора в доказательстве используются построение множества Витали, неизмеримого относительно произвольной «хорошей» меры, сдвиг натурального ряда (если к каждому натуральному числу прибавить 1, то получится тот же самый натуральный ряд и ещё одна точка) и ещё некоторые ниже сформулированные утверждения.

Изящное квадратное уравнение

Задача национальной канадской олимпиады по математике.

Ренди: Привет, Рейчел, ты написала интересное квадратное уравнение. Каковы его корни?

Рейчел: Его корнями являются два натуральных числа. Один из корней – мой возраст, другой – возраст моего младшего брата Джимми.

Ренди: Это очень изящно! Посмотрим, смогу ли я вычислить, сколько лет тебе и сколько Джимми. Это не должно быть сложным, ведь коэффициенты твоего уравнения – целые числа. Кстати, я заметил, что сумма всех трёх коэффициентов – простое число.

Рейчел: Интересно. Так посчитай, сколько мне лет.

Ренди: Вместо этого я попытаюсь угадать твой возраст и подставить его вместо x… Хм, получилось – 55, а не 0. (минус 55)

Рейчел: Уйди, противный!

Докажите, что Джимми два года.
Определите возраст Рейчел.

Странные четырехугольники

Можно ли на плоскости начертить два четырехугольника так, чтобы периметр внутреннего четырехугольника был больше периметра внешнего?

Обгоревшая параболическая антенна

В НИИ прикладной математики и механики (Томск) примерно в 1988 году перед сотрудниками поставили следующую секретную задачу.

В некотором космическом корабле есть деталь в форме эллиптического параболоида. Это может быть папаболическая антенна или элемент топливного бака. Что именно - секрет.

Известно, что параболическая поверхность собирает все отраженные лучи в одной точке, которую называют фокусом).

Во время полета в плотных слоях атмосферы параболическая поверхность равномерно обгорает (или покрывается равномерно слоем льда).

Останется ли у обгоревшей или покрытой льдом поверхности свойство фокусировать лучи в одной точке?

Задача весьма актуальна: испортится ли антенна, если ее покрасить краской?